Pengenalan dan argumen

Pengenalan dan argumen
Salah satu kesulitan utama setiap sejarawan harus menghadapi ketika dia melihat karya-karya di atas dasar matematika di akhir XIXth Century adalah untuk menyingkirkan gagasan bahwa karya-karya ini merupakan contoh tahap pra - Hilbertian pemikiran . Kami memang jatuh ke dalam kebiasaan menghubungkan stres memakai bahasa dalam matematika dengan semacam formalisme , yang menurut isi istilah primitif yang ditetapkan oleh dalil-dalil . Dengan demikian , di Hilbert Grundlagen , seperti yang diketahui , istilah titik, garis dan pesawat hanya menandai tanpa konten apapun intuitif . Gagasan bahwa sistem aksiomatik sendiri memberikan istilah matematika maknanya begitu membudaya hari ini bahwa seseorang merasa kesulitan intelektual dalam membayangkan bagaimana hal itu bisa sebaliknya .

Apa yang saya akan menyarankan di sini adalah bahwa , dengan cara tertentu , untuk Peano , penekanan pada bahasa berlawanan dengan pendekatan Hilbertian , dan saya akan mencoba untuk berdebat untuk itu dengan menekankan pentingnya garis keturunan Grassmannian Peano itu . Memang , di Grassmann , kalkulus bentuk tidak dipahami sebagai suatu sistem yang secara implisit mendefinisikan istilah dasar matematika , namun , sebaliknya , "teori ekstensi " dianggap sebagai satu-satunya cara menangkap dan menampilkan isi tertentu yang diberikan benda . Saya akan mempertahankan bahwa terus sama untuk Peano . Dengan kata lain, saya akan mencoba untuk meyakinkan Anda bahwa , di Peano , bahasa dan formalisme yang tidak begitu banyak dipandang sebagai alat untuk memutuskan simbol dari konten mereka yang biasa , tetapi sebagai sarana penangkapan baru dan sampai objek matematika kemudian tersembunyi .

Untuk menyempurnakan saran ini , saya akan secara singkat menjelaskan dan membahas dua contoh . Pertama, saya akan berbicara tentang penggunaan kalkulus Grassmann dalam definisi baru dari daerah permukaan melengkung , kedua, saya akan belajar membaca Peano tentang geometri aksiomatik Paskah itu . Dalam masing-masing kasus , pengaruh Grassmannian terikat dengan apa yang bisa kita sebut semacam " realisme matematika " , yaitu, dengan gagasan bahwa aljabar memberi kita akses ke jenis tertentu dari entitas , "bentuk " , yang tidak dapat dicapai dengan jalan yang lain .

Pada bagian terakhir saya, saya akan memperkuat hasil pertama ini dengan kontras cara Peano disajikan bahasa yang logis dengan yang kita temukan dalam tradisi Boolean . Ada , perbedaan antara batu kosong dan aljabar ditafsirkan sering ditarik . Satu tidak menemukan setara dalam karya Peano itu . Seperti diketahui , Peano sangat ceroboh tentang perbedaan antara menyebutkan dan penggunaan . Saya pikir kebingungan ini tidak harus dilihat hanya sebagai cacat , tetapi juga sebagai gejala dari kekuatan komitmen Peano terhadap tradisi Grassmanian . Ketika aljabar adalah pertama dan terutama dipandang sebagai alat untuk memahami konten yang tidak dapat dipahami jika tidak , maka definisi murni sintaksis bate tampaknya sangat buatan.

1. Pada definisi pada area permukaan melengkung
Saya akan sangat singkat mengenai hal ini , karena Yvette Perrin telah mengabdikan makalahnya dengan topik ini . Aku hanya ingin di sini untuk menekankan fakta bahwa cara Peano menggunakan aljabar geometri bergerak menjauh dari pendekatan metode Hilbertian .

Titik awal kertas Peano adalah yang " Schwarz paradoks " , yaitu kesadaran bahwa definisi Serret itu cacat. Serret dianggap keluarga polihedron pada permukaan melengkung yang diberikan , dan ia mengklaim bahwa luas permukaan yang ditargetkan adalah batas area wajah para polihedron , ketika sisi wajah ini cenderung menuju nol . Definisi tidak bekerja karena, bahkan untuk permukaan yang sederhana sebagai bagian dari silinder , keluarga polihedron yang bidang cenderung ke arah tak terhingga ketika sisi wajah polyhedral cenderung menuju nol dapat dibangun .

Meskipun kegagalan ini, jalan yang diambil oleh Serret tampak cukup alami, karena kembali analogi Archimedean antara pembetulan dari garis dan quadrature dari permukaan . Sebagai panjangnya batas panjang poligon tertentu , suatu daerah muncul, dalam definisi Serret , karena batas wilayah polyhedron tertentu . Tapi bagaimana adalah permintaan untuk kekakuan untuk berdamai dengan keinginan untuk tetap pendekatan geometris Archimedes ' ? Peano menjawab : dengan menggunakan aljabar geometri . Dengan demikian :

Si può ottenere ad un tempo il rigore e l' analogia fra le definizioni relatif All'Arco e all'area , ove si faccia uso , oltrechè del concetto di retta Limitata perhatian dalam grandezza e direzione ( segmento , Vettore ) , anche del concetto dualitico di daerah Piana perhatian dalam grandezza e giacitura . Questi enti furono introdotti di Geometria specialmente per opera di Chelini , Möbius , Bellavitis , Grassmann e Hamilton .

Dan Peano menuliskan :
Lunghezza d' un arco di curva è il limite superiore della somma delle grandezze dei Vettori delle menuntut parti .

Area d' una porzione di superficie è il limite superiore della somma delle grandezze dei bivettori delle menuntut parti .

Analogi ini kemudian dihormati , tetapi gagasan Grassmannian vektor dan bivectors terjadi dalam definisi .
Saya tidak punya waktu untuk menjelaskan secara rinci apa itu vektor atau bivector a . Biarkan aku hanya mengatakan bahwa vektor dan bivectors , seperti semua bentuk geometris , memiliki besar dan orientasi , dan bahwa , pada saat yang sama , entitas ini terjadi sebagai faktor dalam operasi produk tertentu . Vektor dan bivectors kemudian dikandung pada saat yang sama baik sebagai entitas spasial dan formal. Sekarang , mengapa definisi Peano lebih baik dari satu Serret itu ? Menurut Peano , Serret melakukan kesalahan karena ia tidak memperhitungkan orientasi sisi polihedron mendekat. Sekarang , karena gagasan Grassmannian dari bivector dikemas orientasi , sumber kesalahan ini dibuang dari awal .

Saya akan mengatakan apa-apa tentang konstruksi Peano itu . Yang ingin saya tekankan adalah bahwa cara Peano digunakan aljabar geometris benar-benar bertentangan dengan pendekatan aksiomatik Hilbert . Dalam Grundlagen , penafsiran istilah primitif dapat diubah sesuai keinginan , asalkan jaringan relasional yang ditetapkan dalam aksioma dipertahankan . Tidak ada yang lebih jauh dari pandangan Peano itu . Memang , untuk menghindari kesalahan Serret itu , sambil menjaga hubungan antara pembetulan dan quadrature , kita harus meninggalkan gagasan akrab poligon atau polyhedron untuk baru " ontologi " vektor dan bivectors . Aljabar Grassmannian ( seperti yang digunakan oleh Peano ) muncul kemudian sebagai alat yang memungkinkan pembentukan kembali konsep geometri dasar - sebagai sarana untuk menggantikan benda Euclidean intuitif dengan entitas abstrak , yang lebih cenderung untuk mengungkapkan fitur besaran geometris . Dalam Sulla definizione dell'area di una superficie , peran kalkulus kemudian untuk membawa ke cahaya lapisan tertentu dari realitas geometris .

2. membaca Peano tentang aksiomatik Paskah 
Pada tahun 1890 , Peano menulis I principii della Geometria , presentasi aksiomatik geometri absolut , terinspirasi oleh dua bagian pertama Paskah yang Vorlesungen über neure Geometrie ( 1882) . Buku terakhir ini dirayakan dalam literatur sebagai axiomatization lengkap pertama dari geometri , dan dengan demikian sebagai langkah penting menuju Hilbert Grundlagen . Peano aksioma diterjemahkan Paskah ke dalam notasi baru logis , dan terbukti beberapa hasil kemerdekaan dengan menggunakan metode yang sama - model teoritis kita pakai sampai sekarang . Jadi , di sini setidaknya , kita bisa percaya kami telah menemukan pendekatan aksiomatik murni untuk geometri , bayangan pekerjaan Hilbert . Tapi melihat lebih dekat pada artikel , dan terutama di bagian yang 2 dan 3 , akan mengungkapkan berapa banyak Peano masih di bawah pengaruh Grassmann .

Dalam karya Paskah , satu-satunya indefinables adalah poin dan hubungan " antara " ( gagasan " pesawat" yang juga diambil sebagai tak dapat dijelaskan , tapi saya meninggalkan titik ini samping ) . Pada bagian nya 2 , Peano menyusun notasi untuk berbicara tentang berbagai bagian dari garis dibagi oleh dua poin . Jika a dan b adalah dua poin , ab akan mengacu pada segmen yang ekstremitas adalah a dan b . Dia kemudian memperkenalkan tanda " ' " , dan menjelaskan bahwa A'B adalah " bayangan b ketika menyala dari " , yaitu, A'B adalah setengah garis yang ekstremitas dalam b dan yang tidak berisi ; sementara ab ' adalah setengah garis yang ekstremitas dalam dan yang tidak mengandung b .

3. Peano dugaan kebingungan antara menyebutkan dan penggunaan
Pada bagian 1 , saya telah menunjukkan bagaimana Peano digunakan kalkulus geometris dalam " cara yang realistis " : pengertian aljabar vektor dan bivector seharusnya mengungkapkan fitur dari lapisan tertentu dari realitas geometris . Pada bagian 2 , saya telah menunjukkan bahwa , ketika Peano eksplisit mengadopsi sudut pandang aksiomatik , ia kadang-kadang menganggap sistem aksioma itu sendiri sebagai sarana untuk mendefinisikan " kalkulus bentuk " baru dan diperpanjang , dalam arti Grassmann . Jadi, tidak hanya dia menggunakan kalkulus aljabar pindah Peano jauh dari kerangka Hilbertian , tetapi bahkan ia " resmi " adopsi sudut pandang aksiomatik tampaknya , dalam kasus-kasus tertentu, setidaknya , untuk menyembunyikan adhesi yang lebih mendasar dengan program Grassmannian .

Pada bagian terakhir ini, saya tidak akan fokus pada beberapa fitur penalaran Peano itu . Sebaliknya , saya akan berbicara tentang apa yang saya anggap sebagai kekurangan yang signifikan dalam pekerjaan Peano itu . Banyak orang telah mencatat pengaruh aneka dari " Boolean " sekolah di Peano . Sepertinya saya , bagaimanapun, bahwa , pada satu titik , Peano benar-benar asing bagi tradisi ini . Para ahli logika berasal dari " aljabar logis " biasanya menarik perbedaan yang jelas antara kalkulus murni (a kombinatorika resmi belaka ) , dan aljabar ditafsirkan penuh . Tentu saja, sifat perbedaan ini tidak selalu dipahami dengan cara yang sama oleh ahli logika , tetapi tidak ada keraguan bahwa perbedaan itu sendiri tergolong cerita rakyat dari tradisi ini . Untuk daging yang keluar , izinkan saya mengutip dua teks . Pertama , salah satu dari A. de Morgan , salah satu Trailblazers sekolah ini :

Tujuan dari buku ini adalah pembangunan Aljabar atas dasar yang akan memungkinkan kami untuk memberikan makna pada setiap simbol dan kombinasi simbol sebelum digunakan , dan akibatnya untuk mengeluarkan , pertama, dengan semua kombinasi dimengerti , kedua, dengan semua pencarian setelah interpretasi kombinasi selanjutnya untuk penampilan pertama mereka. Tidak ada yang bisa lebih jelas daripada kemungkinan mendikte simbol yang dapat digunakan untuk melanjutkan , dan cara menggunakannya , tanpa informasi apa pun tentang arti mantan , atau tujuan yang terakhir. Seseorang yang harus belajar bagaimana menyusun peta Eropa membedah sebelum kertas yang disisipkan pada , akan memiliki simbol , berbagai potongan berbentuk kayu , dan aturan operasi , arah untuk menempatkan mereka bersama-sama sehingga membuat tepi cocok dan keseluruhan membentuk sosok oblong . Biarkan dia pergi sampai dia bisa melakukan hal ini dengan tingkat keahlian , dan ia tidak memiliki kesadaran setelah mengetahui apa-apa , tetapi tempel pada kertas terukir , dan ia segera membuat masuk akal bahwa ia telah menjadi master dari bentuk dan situasi relatif negara-negara Eropa dan laut .

Tentu saja, seseorang dapat menemukan dalam karya Peano di beberapa tempat di mana perbedaan antara simbolisme kosong dan formalisme ditafsirkan penuh ditarik ( misalnya , kejadian yang sangat awal dari bukti - model teoritis kemerdekaan dapat ditemukan dalam I principii ) . Tapi kita tidak menemukan ada setara dengan perkembangan metodologis umum yang rawa kata pengantar buku milik tradisi Boolean . Sebaliknya , Peano sering sangat ceroboh tentang perbedaan antara metabahasa dan objek bahasa .

Ambil, misalnya , perbedaan di antara apa yang disebut interpretasi intensional dan ekstensional kalkulus Boolean . Alih-alih mengatakan bahwa surat variabel dapat diartikan kadang-kadang sebagai kelas dan kadang-kadang sebagai fungsi proposisi , Peano lebih suka untuk mengatakan bahwa kedua kelas dan fungsi proposisi mewakili ide yang sama , diungkapkan dengan cara univocal oleh bahasa logis :

Untuk Peano kemudian , perbedaan semantik biasa harus menepi mendukung apa yang disarankan oleh sintaks logis . Evgueni Zaitsev , dalam makalahnya tahun 1994 , mengamati bahwa fenomena yang sama terjadi dalam konteks perbedaan antara implikasi dan deduksi . Dalam sebuah surat kepada Frege ( 14/10/1896 ) , Peano menulis :
Aku telah memberikan dua nama untuk tanda " kami menyimpulkan " dan " terkandung " , dan juga dapat dibaca banyak cara lain . Ini tidak berarti bahwa tanda memiliki beberapa arti . Ide saya lebih baik diungkapkan dengan mengatakan bahwa tanda memiliki makna tunggal , tetapi dalam bahasa sehari makna ini diwakili oleh beberapa kata yang berbeda , sesuai dengan keadaan .

Tapal kuda ini memiliki makna tunggal dan mengekspresikan bentuk yang unik , yang , bagaimanapun, adalah instanced dengan cara yang berbeda dalam notasi biasa .

Fitur ini tidak hanya bertentangan dengan apa yang kita temukan dalam tradisi Boolean . Hal ini juga mengingatkan kita sangat banyak praktek yang sebenarnya Grassmann . Dalam edisi kedua dari Ausdehnungslehre , Grassmann , setelah disajikan kalkulus bentuk , menerapkan aljabar geometri . Aplikasi ini tidak diperkenalkan sebagai interpretasi dari sistem yang kosong , tetapi sebagai cara khusus untuk menampilkan teori bentuk . Misalnya , Grassmann menjelaskan bahwa , ketika besaran spasial dianggap , bentuk orde pertama dapat mengambil dua penampilan yang berbeda - mereka dapat muncul sebagai poin dan mereka juga dapat muncul sebagai " pemindahan " , yaitu , sebagai titik di tak terhingga . Grassmann tidak mengatakan bahwa beberapa bentuk orde pertama dapat diartikan sebagai titik , dan beberapa orang lain sebagai titik di tak terhingga . Untuk merombak penalaran dalam hal ini akan sangat menyesatkan , karena , menurut Grassmann , salah satu kekuatan dari aljabar baru terdiri dalam menunjukkan bahwa apa geometri biasa mengambil menjadi dua hal yang terpisah dalam kenyataannya dua aspek objek formal yang sama .

Saya tidak yakin bahwa pertimbangan Peano tentang implikasi atau tentang surat variabel dapat diberikan sebagai meyakinkan sebagai analisis Grassmann . Tapi ini adalah off titik . Klaim saya satu-satunya adalah untuk mengatakan bahwa , jika kita menganggap bahwa aljabar logis memberikan kita satu-satunya akses ke jenis tertentu objek yang sangat mendasar , maka perbedaan antara formalisme kosong di satu sisi , dan kalkulus ditafsirkan di sisi lain , menjadi sia-sia dan buatan : untuk Grassmannian , jauh dari yang kosong , aljabar selalu berorientasi objek , karena itu adalah satu-satunya cara untuk mencapai semacam konten tertentu . Dilihat dari sudut ini , wacana metodologis umum dari sebuah Couturat atau de Morgan menjadi hanya dimengerti . Artikulasi sintaksis dari kalkulus bentuk langsung dilihat sebagai jendela , yang memberi kami akses ke jenis kenyataan bahwa kita tidak bisa melihat sebaliknya .
Blog, Updated at: 03.53

0 komentar :

Poskan Komentar

Popular Posts